本教案将介绍向量的概念、性质以及相关应用。本教案内容分为三个部分，分别为：向量的定义与基本运算、向量的性质、向量的应用。
## 一、向量的定义与基本运算
### 1. 向量的定义
向量是指有大小和方向的量，通常用带箭头的小写字母表示，如 $\vec{a}$。
### 2. 向量的表示方法
向量可以用坐标表示或行向量表示。假设 $\vec{a}$ 的起点坐标为 $(x_1,y_1)$，终点坐标为 $(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}$ 可以用坐标表示为 $\vec{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。如果用行向量表示，则 $\vec{a}$ 可以表示为 $\vec{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ 或 $\vec{a}=(x_1,y_1)(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
### 3. 向量的基本运算
向量的基本运算包括加法、减法、数乘等。
- 加法：向量相加时，先将它们的起点放在同一个点上，然后将它们的终点连起来，得到两个向量的和。
- 减法：向量相减时，先将它们的起点放在同一个点上，然后将减去的向量取负号，再将两个向量的终点连起来，得到两个向量的差。
- 数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数。当实数为正数时，向量方向不变；当实数为负数时，向量方向相反。
## 二、向量的性质
### 1. 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则这两个向量是平行向量。平行向量可以用比例关系表示，即 $\vec{a}//\vec{b}$，或者用向量积表示，即 $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$。
### 2. 垂直向量
如果两个向量的夹角为 $90^\circ$，则这两个向量是垂直向量。垂直向量可以用向量积表示，即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。
### 3. 向量的长度和单位向量
向量的长度是指从起点到终点的距离，通常用 $|\vec{a}|$ 表示。单位向量是指长度为 1 的向量，通常用 $\hat{a}$ 表示，即 $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。
## 三、向量的应用
向量在物理学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
### 1. 物理学中的向量
在物理学中，速度、加速度等都是向量。利用向量可以很方便地描述物体运动的速度和方向，从而计算出物体所受的力以及相应的加速度等物理量。
### 2. 计算机图形学中的向量
在计算机图形学中，向量被广泛地应用于三维空间的表示和计算中。例如，可以用向量来表示三维模型中的点、面和法线等。
### 3. 其他应用
除了物理学和计算机图形学，向量还可以应用于统计学、金融学等领域。例如，在金融学中，可以用向量来表示投资组合的收
